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Questão FC784104

Sendo a sequência de n ensaios binomiais independentes, tendo a mesma probabilidade \(\theta\) de “sucesso” em cada ensaio, se Sn = X1 + X2 + ... + Xn é o número de sucessos nos n

Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central

Instituto AOCP · 2024

Sendo a sequência de n ensaios binomiais independentes, tendo a mesma probabilidade \(\theta\) de “sucesso” em cada ensaio, se Sn = X1 + X2 + ... + Xn é o número de sucessos nos n primeiros ensaios, então \({ \large S_n \over n} \vec{p} \theta\), ou seja, \({ \large S_n \over n}\) converge em probabilidade para \(\theta\). O enunciado da Lei dos Grandes Números a que se exprime esse resultado é a Lei dos Grandes Números de

  1. Bernoulli.
  2. Kolmogorov.
  3. Khintchin.
  4. Tchebychev.
  5. Borel.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Lei dos Grandes Números de Bernoulli afirma que, em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes com mesma probabilidade de sucesso \(\theta\), a proporção de sucessos converge para \(\theta\) quando \(n\) cresce. Em notação, \( \frac{S_n}{n} \xrightarrow{p} \theta\), ou seja, há convergência em probabilidade.

Cada variável \(X_i\) tem esperança \(E[X_i]=\theta\) e variância \(\mathrm{Var}(X_i)=\theta(1-\theta)\). Como as \(X_i\) são independentes, \(\mathrm{Var}(S_n)=n\theta(1-\theta)\) e \(\mathrm{Var}\!\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{\theta(1-\theta)}{n}\).

Aplicando a desigualdade de Chebyshev obtém-se \(P\!\left(\left|\frac{S_n}{n}-\theta\right|\ge\varepsilon\right)\le\frac{\theta(1-\theta)}{n\varepsilon^2}\), que tende a zero quando \(n\to\infty\). Assim, a proporção de sucessos converge em probabilidade para \(\theta\), caracterizando a lei de Bernoulli.

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