Questão FC784108
Sabe-se que uma forma de construir intervalos de confiança para os parâmetros é utilizando quantidade pivotais. Sabe-se também que \(Q(X;\theta)\) é uma quantidade pivotal, ou seja
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Instituto AOCP · 2026
Sabe-se que uma forma de construir intervalos de confiança para os parâmetros é utilizando quantidade pivotais. Sabe-se também que \(Q(X;\theta)\) é uma quantidade pivotal, ou seja, uma função de \((X_1,...X_n)\) e \(\theta\), se a de distribuição \(Q(X;\theta)\) não depende de \(\theta\). Então, é correto afirmar que a quantidade pivotal dada por
\(Q(X; \theta) = Q(X; \mu) = \frac{\frac{(\bar{X}-\mu)}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{(n-1)\sigma^2}}}\),
segue a distribuição
- normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\).
- t de Student com n graus de liberdade.
- qui-quadrado com n graus de liberdade.
- t de Student com n-1 graus de liberdade.
- qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.
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Gabarito
D
Comentário do professor
A expressão dada é uma quantidade pivotal que pode ser simplificada reconhecendo a variância amostral \(S^2=\dfrac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2}{n-1}\).
Substituindo, o denominador vira \(\sqrt{\dfrac{S^2}{\sigma^2}}=\dfrac{S}{\sigma}\) e a estatística fica \(Q(X;\mu)=\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\).
Para amostras normais vale que \(\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\) e \((n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2_{\,n-1}\), além de \(\bar X\) e \(S^2\) serem independentes.
Da combinação desses fatos segue que a razão \(\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}\) tem distribuição t de Student com \(n-1\) graus de liberdade, o que justifica a alternativa correta.
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