Questão FC784114
Seja a amostra aleatória [\(X_1\), \(X_2\), ... , \(X_n\)] de uma v.a. com distribuição de probabilidade \(N(\mu, \sigma^2)\). Então, o estimador UMVU do parâmetro \(\mu\) tem a se
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Instituto AOCP · 2024
Seja a amostra aleatória [\(X_1\), \(X_2\), ... , \(X_n\)] de uma v.a. com distribuição de probabilidade \(N(\mu, \sigma^2)\). Então, o estimador UMVU do parâmetro \(\mu\) tem a seguinte distribuição amostral:
- \(N(\overline{X},\sigma^2)\).
- \(N(0,1)\).
- \(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\).
- \(N(0,\sigma^2)\).
- \(N(\overline{X},1)\).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A alternativa correta afirma que o estimador UMVU de \(\mu\) tem distribuição \(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\). Isso decorre diretamente da média amostral \(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\).
Cada \(X_i\) é \(N(\mu,\sigma^2)\) e independentes, então qualquer combinação linear \(\bar{X}\) também é normal. Assim \(\bar{X}\) é normalmente distribuída.
Calculemos os parâmetros: \(E[\bar{X}]=\frac{1}{n}\sum E[X_i]=\mu\), portanto é não viesada. A variância é \( \mathrm{Var}(\bar{X})=\frac{1}{n^2}\sum \mathrm{Var}(X_i)=\frac{\sigma^2}{n}.\)
Pela propriedade de ser estatística suficiente e, via o Teorema de Lehmann-Scheffé, não existe estimador não viesado com variância menor, logo \(\bar{X}\) é UMVU e sua distribuição amostral é \(N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)\).
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