Questão FC868968
Considere X&sub1;, X&sub2;, ..., Xn uma amostra aleatória de uma distribuição uniforme contínua no intervalo (0, \(\theta\)), com \(\theta > 0\). Sabe-se que E(X) = \(\theta/2\). P
Sem classificação
FUNDATEC · 2026
Considere X&sub1;, X&sub2;, ..., Xn uma amostra aleatória de uma distribuição uniforme contínua no intervalo (0, \(\theta\)), com \(\theta > 0\). Sabe-se que E(X) = \(\theta/2\). Pelo método dos momentos, o estimador de \(\theta\) é:
- \(\hat{\theta} = \frac{\bar{X}}{2}\)
- \(\hat{\theta} = \bar{X}\)
- \(\hat{\theta} = \frac{\max(X_i)}{2}\)
- \(\hat{\theta} = \frac{1}{\bar{X}}\)
- \(\hat{\theta} = 2\bar{X}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Pelo método dos momentos igualamos o primeiro momento teórico ao momento amostral. Para a uniforme contínua em (0,\(\theta\)) o primeiro momento é \(E(X)=\theta/2\).
Assim impomos \( \bar{X}=E(X)=\theta/2\) e resolvemos para \(\theta\). Isso leva diretamente a \( \hat{\theta}=2\bar{X}\).
Logo o estimador é \( \hat{\theta}=2\bar{X}\).
Esse estimador é não viesado porque \(E(\bar{X})=\theta/2\) implica \(E(2\bar{X})=\theta\). É também consistente, pois pela Lei dos Grandes Números \(\bar{X}\) converge a \(\theta/2\), o que faz \(2\bar{X}\) convergir a \(\theta\).
Em suma, o procedimento é direto: equacionar momentos e isolar \(\theta\) produz o estimador da alternativa correta.
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