Questão FC868969
Em um estudo estatístico, uma variável aleatória X foi modelada por uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. Considerando as propriedades dessa distribuição, assinal
Sem classificação
FUNDATEC · 2026
Em um estudo estatístico, uma variável aleatória X foi modelada por uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. Considerando as propriedades dessa distribuição, assinale a alternativa que apresenta corretamente a função geradora de momentos de X.
- \(M_X(t) = e^{\lambda(e^t-1)}\)
- \(M_X(t) = e^{\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}}\)
- \(M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}\)
- \(M_X(t) = \left( \frac{1}{1-2t} \right)^{\frac{n}{2}}\)
- \(M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
MGF da distribuição qui-quadrado vem da representação da variável. A chi-quadrado com \(n\) graus de liberdade é a soma de \(n\) variáveis independentes \(Z_i^2\), onde cada \(Z_i\) é padrão normal.
Para uma normal padrão \(Z\), tem‑se \(E[e^{tZ^2}]=(1-2t)^{-1/2}\) para \(t<1/2\). Como os quadrados são independentes, a função geradora de momentos da soma é o produto das MGFs individuais.
Portanto, \(M_X(t)=\bigl((1-2t)^{-1/2}\bigr)^n=(1-2t)^{-n/2}\).
Alternativamente, usando a parametrização Gamma (\(X\sim\Gamma(k=n/2,\theta=2)\)), obtém‑se a mesma forma geral \(M_X(t)=(1-\theta t)^{-k}=(1-2t)^{-n/2}\).
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