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Questão FC868988

Analise as assertivas a seguir e assinale V, se verdadeiras, ou F, se falsas. ( ) Pelo Teorema Central do Limite, se uma população possui média \(\mu\) e variância finita \(\sigma^

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FUNDATEC · 2026

Analise as assertivas a seguir e assinale V, se verdadeiras, ou F, se falsas.

 

( ) Pelo Teorema Central do Limite, se uma população possui média \(\mu\) e variância finita \(\sigma^2\), então, para amostras aleatórias constituídas por observações independentes e identicamente distribuídas, de tamanho suficientemente grande, a distribuição da média amostral tende a ser aproximadamente normal, com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2/n\).

 

( ) Pela Lei Forte dos Grandes Números, a média amostral converge apenas em probabilidade para a média populacional, sem garantia de convergência quase certa.

 

( ) Pela Lei Fraca dos Grandes Números, a média amostral converge quase certamente para a média populacional.

 

( ) A Desigualdade de Jensen estabelece que, se \(\varphi\) é uma função convexa definida em um intervalo que contém os valores de uma variável aleatória integrável X, sendo \(\varphi(X)\) também integrável, então \(\varphi(E[X]) \le E[\varphi(X)]\).

 

( ) A Desigualdade de Chebyshev afirma que, para uma variável aleatória X com média \(\mu\) e variância finita \(\sigma^2/n\), a probabilidade de X se afastar da média por uma distância igual ou superior a k, com k > 0, satisfaz \(P(|X - \mu| \ge k) \le \sigma^2/(nk^2)\).

 

A ordem correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é:

  1. F – V – V – F – V.
  2. V – F – F – V – F.
  3. F – F – V – V – F.
  4. V – F – F – V – V.
  5. V – V – F – F – V.
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Gabarito

B

Comentário do professor

A sequência V – F – F – V – F está correta pelos seguintes motivos.

Teorema Central do Limite: verdadeiro. Para amostras i.i.d. com variância finita, a média amostral, para n grande, é aproximadamente normal com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2/n\).

Lei Forte dos Grandes Números: falso na forma dada. A lei forte garante convergência quase certa da média amostral para \(\mu\), não apenas convergência em probabilidade.

Lei Fraca dos Grandes Números: falso na forma dada. A lei fraca garante convergência em probabilidade, não convergência quase certa.

Desigualdade de Jensen: verdadeiro. Para \(\varphi\) convexa e \(X\) integrável com \(\varphi(X)\) integrável vale \(\varphi(E[X])\le E[\varphi(X)]\).

Desigualdade de Chebyshev: falso na formulação apresentada. O limite correto é \(P(|X-\mu|\ge k)\le \mathrm{Var}(X)/k^2\). A expressão com \(\sigma^2/(n k^2)\) só se justifica se tiver sido especificado que \(\mathrm{Var}(X)=\sigma^2/n\), o que não é o caso para uma variável genérica X.

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