Questão FC100013
Considere-se um modelo de séries temporais na forma Xt = 2 + 0,2Xt-1 + at, em que t denota um índice temporal, at representa um ruído branco com média zero e variância 4, e as vari
Análise de Séries Temporais
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com base nessas informações, julgue o próximo item.
O desvio padrão da série temporal {Xt} é menor que 2.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a série temporal modelada pela equação Xt = 2 + 0,2Xt-1 + at, onde at é um ruído branco com média zero e variância 4. É essencial entender que Xt e Xt-1 possuem E[Xt] = E[Xt-1] e Var[Xt] = Var[Xt-1]. Quando aplicamos a propriedade da variância, obtemos:
\( Var(X_t) = Var(2 + 0,2X_{t-1} + a_t) = (0,2)^2 Var(X_{t-1}) + Var(a_t) \). Dado que \(Var(a_t) = 4\) e a variância é constante, substituímos por \(Var(X_t)\), resultando em:
\(Var(X_t) = 0,04Var(X_t) + 4\). Reorganizando, temos
\(Var(X_t)(1 - 0,04) = 4\) ou seja,
\(Var(X_t) = \frac{4}{0,96}\). Agora, como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, calculamos
\(DP = \sqrt{Var(X_t)} = \sqrt{\frac{4}{0,96}}\). Como um número maior que 2 pode ser encontrado dividindo 2 por um número menor que 1, a conclusão é clara: o desvio padrão é, de fato, maior que 2. Portanto, a afirmação de que o desvio padrão da série temporal é menor que 2 é ERRADA.
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