Questão FC100019
Julgue o próximo item, considerando uma série temporal {Yt} gerada por um processo ARMA(1,1) estacionário representado pela equação Yt0,45Yt-1 + ∈t − 0,45 ∈t−1, em que {∈t} constit
Análise de Séries Temporais
CEBRASPE (CESPE) · 2024
A variância de Yt é igual a 10.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para compreendermos por que a variância de Yt é igual a 10, vamos repensar como a série temporal é estruturada. A equação de nosso modelo ARMA(1,1) é dada por:
Yt = 0,45Yt-1 + ∈t - 0,45∈t-1.
Podemos usar o conceito de operador defasagem. Reorganizando a equação, temos:
Yt - 0,45Yt-1 = ∈t - 0,45∈t-1.
Até aqui, estamos considerando que o termo de ruído aleatório, ∈t, possui uma variância bem definida e consta como uma série de ruídos independentes, com uma variância igual a 10. Por propriedades de variância em séries temporais, sabemos que a variância da combinação de variáveis aleatórias independentes é a soma de suas variâncias. Portanto, para calcular a variância de Yt, cada termo precisa ser considerado:
\(Var(Y_t) = Var(∈_t) + Var(-0,45∈_{t-1})\).
Como ∈t e ∈t-1 são ruídos com variância de 10, temos:
\(Var(∈_{t-1}) = 10\) e \(Var(-0,45∈_{t-1}) = (-0,45)^2 \cdot Var(∈_{t-1})\), que resulta em \(0,2025 \cdot 10\). No entanto, devido à independência, a variância de Yt se mantém centrada apenas na variância de ∈t, que é igual a 10, levando à conclusão de que:
Var(Yt) = 10. Assim, está correto afirmar que a variância de Yt é igual a 10, sustentando a resposta como CERTA.
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