Questão FC100028
Considerando uma série temporal representada por {Xt}, julgue o item a seguir. Se a série temporal for gerada por um processo na forma Xt = εt −Xt−1, εt no qual εt representa um ru
Análise de Séries Temporais
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Se a série temporal for gerada por um processo na forma
εt no qual εt representa um ruído branco com média zero e desvio padrão igual a 1, então a variância de Xt será igual a 0,5.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a série temporal dada pela relação Xt = εt − Xt−1. Aqui, εt é o ruído branco com média zero e desvio padrão igual a 1. Para determinar a variância de Xt, devemos considerar a propriedade essencial de que a variância de uma soma de variáveis independentes é igual à soma das variâncias. Assim, se chamarmos Var(Xt) de σ², temos:
Var(Xt) = Var(εt - Xt−1) = Var(εt) + Var(-Xt−1). Note que Var(-Xt−1) = Var(Xt−1), pois a variância não se altera com o sinal. Assim, ficamos com:
Var(Xt) = 1 + Var(Xt−1).
Se continuarmos essa expansão, conseguiremos expressar Var(Xt) em termos de variâncias anteriores, levando a um padrão onde:
Var(Xt) = Var(εt) + Var(εt−1) + Var(εt−2) + ..., resultando em um crescimento indefinido da variância à medida que t aumenta. Portanto, a variância de Xt não é constante e definitivamente não é 0,5, mas tende ao infinito conforme t cresce.
Por isso, a afirmação está ERRADA.
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