Questão FC100033
Com respeito a análise de componentes principais, mistura de gaussianas e agrupamento k-means, julgue o item que se segue. Se a matriz de variância-covariância referente a três var
Análise Multivariada
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Se a matriz de variância-covariância referente a três variáveis for
e se o menor autovalor dessa matriz for igual a 1,84, então as duas primeiras componentes principais explicam 81,6% da variação total referente a essas variáveis.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para compreender a afirmação sobre a análise de componentes principais, vamos começar com algumas definições essenciais. A matriz de variância-covariância nos informa sobre as relações e dispersões entre as variáveis. Quando falamos sobre autovalores, devemos lembrar que eles representam a quantidade de variação explicada por cada componente principal.
Agora, dado que temos três variáveis, a soma dos autovalores, que chamaremos de \( \lambda_1, \lambda_2 \) e \( \lambda_3 \), deve ser igual à soma dos elementos da diagonal principal da matriz, neste caso, 10. Ou seja, temos: \( \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 10 \).
Considerando que o menor autovalor é \( \lambda_3 = 1,84 \), podemos determinar a soma dos demais autovalores como \( \lambda_1 + \lambda_2 = 10 - 1,84 = 8,16 \).
Para descobrir quantificada é a variação total que as duas primeiras componentes principais explicam em relação à soma dos autovalores, aplicamos a seguinte fórmula:
\( \text{Porcentagem} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3} = \frac{8,16}{10} = 0,816 \) ou 81,6%.
Portanto, constatamos que as duas primeiras componentes principais realmente explicam 81,6% da variação total, corroborando a afirmação do item. Logo, o gabarito está CERTO.
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