Questão FC100050
Com base no teorema central do limite e na lei dos grandes números, julgue o próximo item, considerando ϕ−1(0,975) = 1,96. Considere que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias co
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Considere que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias com distribuições exponenciais de parâmetro λ = 1/2 independentes e identicamente distribuídas.
Nesse caso, se
então, para que P(1,5 ≤ X̄ ≤ 2,5) ≥ 0,95, é necessário que n ≥ 62.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos entender por que a afirmação é CERTA com base nos conceitos da Lei dos Grandes Números e do Teorema Central do Limite. Este último afirma que, por meio de amostras de variáveis independentes e identicamente distribuídas, a média amostral se aproxima de uma distribuição normal, independentemente da distribuição original, à medida que o tamanho da amostra \( n \) aumenta.
Para as variáveis \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) que seguem uma distribuição exponencial com parâmetro \( \lambda = \frac{1}{2} \), temos que a média \( \mu \) e a variância \( \sigma^2 \) são calculadas como:
\(\mu = \frac{1}{\lambda} = 2\) e \(\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} = 4\).
Com isso, ao analisarmos a média amostral \( \overline{X} \), sabemos que sua distribuição pode ser aproximada por \( N(\mu, \sigma^2/n) \), que neste caso se traduz em \( N(2, \frac{4}{n}) \). Para calcular a probabilidade \( P(1,5 \leq \overline{X} \leq 2,5) \), normalizamos a variável:
\( Z = \frac{\overline{X} - 2}{2/\sqrt{n}} \), resultando na probabilidade expressa como:
\( P\left(-0,25 \sqrt{n} \leq Z \leq 0,25 \sqrt{n}\right) \geq 0,95 \). Isso nos leva à condição de que \( 0,25 \sqrt{n} \) deve ser maior ou igual a \( 1,96 \) (pelo valor crítico de \( \Phi^{-1}(0,975) \)).
Resolvendo a inequação, temos \( \sqrt{n} \geq 7,84 \) e, portanto, \( n \geq 61,4656 \), ou seja, \( n \geq 62 \) é necessário para que a probabilidade desejada se mantenha. Isso valida a resposta afirmativa: CERTA.
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