A sequência de variáveis aleatórias contínuas W1,W2,⋯,Wn representa uma amostra aleatória simples de tamanho retirada de uma população descrita por uma função de densidade na forma

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Comentário: A afirmação de que a média amostral W̄ converge em probabilidade para 0,5 está INCORRETA. Para entender por que isso acontece, precisamos recorrer à Lei dos Grandes Números, que nos diz que a média amostral se aproxima da média populacional à medida que o tamanho da amostra n aumenta. Para determinar a média populacional, precisamos calcular o valor esperado da função de densidade dada: f(w) = 504 x w⁵ (1−w)³, para o intervalo de 0 a 1. Assim, temos:

\( E[W] = \int_{0}^{1} w \cdot f(w) \, dw = 504 \int_{0}^{1} w^{6}(1 - w)^{3} \, dw \)

Ao expandir (1−w)³, e realizando a integral, chegamos a um resultado final que revela que o valor esperado, ou média da população, é de 0,6, e não 0,5. Logo, W̄ converge em probabilidade para 0,6 conforme n tende ao infinito, reforçando que a resposta correta para o item proposto é, de fato, ERRADO.