Questão FC100053
Considerando que o desvio padrão amostral de uma amostra aleatória simples retirada de uma população normal seja denotado por Sn, julgue o próximo item. Caso a população seja norma
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Caso a população seja normal padrão, então, pela lei fraca dos grandes números,
converge em probabilidade para 1 à medida que n → +∞.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A questão aborda um aspecto fundamental da estatística, especificamente a Lei Fraca dos Grandes Números. Este princípio nos diz que, à medida que o tamanho da amostra \( n \) aumenta, a média amostral (\( \bar{X}_n \)) tende a se aproximar da média populacional (\( \mu \)), o que é uma propriedade crucial para inferência estatística. No caso proposto, temos que a população é uma normal padrão, o que implica que \( \mu = 0 \) e \( \sigma^2 = 1 \). Portanto, para esta população, a média amostral converge em probabilidade para 0: \( \bar{X}_n \xrightarrow{P} 0 \).
O item menciona que \( S_n \) (o desvio padrão amostral) converge em probabilidade para 1. Isso decorre do fato de que a variância amostral \( S_n^2 \) também se comporta adequadamente para grandes amostras, e como estamos lidando com uma população normal padrão, a variância real é conhecida, e sua estimativa fornece uma convergência nesse sentido. Em termos concretos, a afirmação é correta, pois essa convergência de \( S_n \) para 1 é garantida pelo comportamento das variáveis aleatórias em uma normal padrão.
Logo, a resposta da banca está CERTA, pois está embasada em um entendimento sólido das propriedades de amostras de variáveis aleatórias normais e as consequências da Lei dos Grandes Números.
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