Questão FC100054
Considerando uma amostra aleatória simples X1,⋯,Xn retirada de uma população normal com média 1 e variância 2, julgue o seguinte item, acerca da soma ponderada A variância de Sn te
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2024
A variância de Sn tende para zero à medida que n aumenta.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que a variância de Sn tende a zero à medida que n aumenta é INCORRETA. Vamos analisar essa soma ponderada mais de perto.
Para começar, podemos reescrever Sn como Sn = ∑k=1n 0,5k Xk. Ao expandirmos, temos:
Sn = X1 0,51 + X2 0,52 + ... + Xn 0,5n. Agora, precisamos avaliar a variância de Sn conforme o número de observações n cresce.
Utilizando a propriedade de que a variância de uma soma de variáveis independentes é a soma das variâncias, obtemos:
\( \text{Var}(S_n) = \text{Var}\left(X_1 \cdot 0,5^1\right) + \text{Var}\left(X_2 \cdot 0,5^2\right) + ... + \text{Var}\left(X_n \cdot 0,5^n\right) \). Visto que todos os Xi têm variância de 2, podemos escrever:
\( \text{Var}(S_n) = 0,5^2 \cdot 2 + 0,5^4 \cdot 2 + 0,5^6 \cdot 2 + ... \)
O que se traduz em uma série infinita de termos que convergem. Essa série é, na verdade, uma progressão geométrica, permitindo que reescrevamos a variância como:
\( \text{Var}(S_n) = 2 \cdot \left(0,5^2 + 0,5^4 + 0,5^6 + ...\right) \). A soma da série é dada pela fórmula \( \frac{a_1}{1 - q} \), onde \( a_1 \) é o primeiro termo e \( q \) é a razão. Logo, ao resolver, encontramos que a variância converge para um valor positivo, ou seja, \( \text{Var}(S_n) \to \frac{2 \cdot 0,5^2}{1 - 0,5^2} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{0,5}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3} \). Portanto, à medida que n aumenta, a variância de Sn tende a \( \frac{2}{3} \), e não a zero, confirmando que a afirmação original está mesmo errada!
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