Questão FC100055
Considerando uma amostra aleatória simples X1,⋯,Xn retirada de uma população normal com média 1 e variância 2, julgue o seguinte item, acerca da soma ponderada Sn converge em proba
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Sn converge em probabilidade para o valor da média populacional.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmativa está ERRADA porque, para que a soma ponderada \( S_n = \sum_{k=1}^{n} 0,5^{k} X_k \) converge em probabilidade para a média populacional \( \mu = 1 \), a variância de \( S_n \) deve tender a zero à medida que \( n \) aumenta.
Vamos analisar essa soma ponderada. Ao reescrevermos, obtemos:
\( S_n = X_1 \cdot 0,5 + X_2 \cdot 0,5^2 + \ldots + X_n \cdot 0,5^{n} \).
Para entender seu comportamento estatístico conforme \( n \) cresce, precisamos calcular a variância de \( S_n \).
Como as variáveis \( X_k \) são independentes e têm variância 2, temos:
\( \text{Var}(S_n) = \sum_{k=1}^{n} \text{Var}(0,5^k X_k) = \sum_{k=1}^{n} (0,5^k)^2 \cdot \text{Var}(X_k) = \sum_{k=1}^{n} 0,25^k \cdot 2 \).
A soma dessa série geométrica, com \( a_1 = 2 \cdot 0,25 \) e razão \( q = 0,25 \), nos dá:
\( \text{Var}(S_n) = 2 \cdot 0,25 \cdot \frac{1}{1-0,25} = \frac{2}{3} \), levando a conclusão de que \( \lim_{n \to \infty} \text{Var}(S_n) \) não tende a zero.
Portanto, a soma ponderada \( S_n \) não converge em probabilidade para \( \mu = 1 \), resultando na resposta incorreta da questão.
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