Questão FC100056
Considerando que X1,X2,…,Xn seja uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com E[X1] = μ < ∞, que o P() operador retorna a probabilidade do s
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2024
julgue os itens subsequentes.Se a variância das Xi for não limitada, então, a lei fraca, a lei forte e o teorema central do limite não serão aplicáveis a Mn.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a questão apresentada. A sequência de variáveis aleatórias X1, X2, …, Xn é composta por elementos que possuem uma média finita, ou seja, E[X1] = μ < ∞. A afirmação sugere que, se a variância das Xi não for limitada, as leis dos grandes números e o teorema central do limite não serão aplicáveis à média amostral Mn. Contudo, isso é incorreto.
Tanto a lei fraca quanto a forte dos grandes números podem prevalecer mesmo que a variância não seja finita. O que realmente importa é que as variáveis têm uma média esperada finita. A lei forte assegura que a média amostral Mn converge quase certamente para μ, enquanto a lei fraca garante que essa convergência ocorre em termos de probabilidade. Não existe uma condição que exija que a variância seja finita para que essas propriedades sejam válidas. Portanto, a correta interpretação é que as características de convergência das médias amostrais não se excluem apenas por conta de uma variância infinita.
Em resumo, a resposta é ERRADA, pois os fundamentos das leis dos grandes números são mais robustos do que a simples limitação da variância. Elas se apoiam na constância da média esperada, que nos garante uma direção clara para a convergência das médias amostrais, independente do comportamento da variância.
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