Questão FC100058
Uma amostra aleatória simples de tamanho igual a n, representada por X1, Xn, é retirada de uma distribuição qualquer com média 0 e variância 2. A partir dessas informações, julgue
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2023
A partir dessas informações, julgue o item a seguir, com respeito à soma
Com base na lei fraca dos grandes números, Sn converge, em probabilidade, para 2.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos desvendar por que a afirmação de que Sn converge em probabilidade para 2 está incorreta. Primeiramente, note que Sn = ∑j=1n Xj2 nos apresenta a soma dos quadrados de variáveis aleatórias Xj. Cada uma dessas variáveis tem média E[X] = 0 e variância Var[X] = 2. Para encontrar o comportamento de Sn, devemos analisar o valor esperado de cada termo: E[Xj2] = Var[Xj] + (E[Xj])2 = 2 + 0 = 2. Assim, o valor esperado da soma é E[Sn] = n * E[Xj2] = n * 2 = 2n. Isso nos indica que, à medida que n aumenta, Sn tende a crescer, não convergindo para 2, mas sim para 2n, o que é um comportamento diferente. Portanto, a verdadeira interpretação da Lei Fraca dos Grandes Números nos diz que a média amostral das somas de quadrados pode convergir para 2, ou seja, Sn/n converge em probabilidade para 2, mas a soma Sn isoladamente não realiza tal convergência. Em conclusão, a afirmação está errada e a resposta correta é, portanto, ERRADO.
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