Questão FC100059
Uma amostra aleatória simples de tamanho igual a n, representada por X1, Xn, é retirada de uma distribuição qualquer com média 0 e variância 2. A partir dessas informações, julgue
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2023
A partir dessas informações, julgue o item a seguir, com respeito à soma
Para uma amostra suficientemente grande, Sn segue, aproximadamente, uma distribuição normal.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos clarear o motivo pelo qual a afirmação está correta, utilizando os princípios fundamentais da Estatística. Quando coletamos n observações aleatórias de uma distribuição que possui média 0 e variância 2, a soma das variáveis aleatórias \( S_n = \sum_{j=1}^{n} X_j \) é o foco da nossa análise. Segundo o Teorema do Limite Central, independentemente da distribuição original, a distribuição da soma tende a se aproximar de uma normal, conforme o tamanho da amostra aumenta. Isso ocorre porque o teorema nos garante que, para uma amostra suficientemente grande, \( S_n \) terá média \( n \cdot \mu \) (que neste caso é 0, pois \( \mu \) é zero) e variância \( n \cdot \sigma^2 \) (sendo \( \sigma^2 \) igual a 2, resultando em \( 2n \)). Assim, a soma \( S_n \) se torna aproximadamente normal com média 0 e variância \( 2n \) à medida que n cresce. Em termos práticos, isso significa que a variável padronizada \( Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sqrt{n \sigma^2}} \) se aproximará de uma normal padrão conforme n se torna maior. Por conseguinte, a afirmação de que \( S_n \), para uma amostra grandemente dimensionada, segue uma distribuição normal é efetivamente CERTA.
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