Questão FC100063
Considerando que uma amostra aleatória simples X0,X1⋯,Xn seja retirada de uma distribuição com média μ e variância σ2 com respeito à soma ponderada na qual |ϕ| < 1, julgue o item q
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2022
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para avaliar a questão proposta, precisamos desvendar o comportamento da variável \( S_n = \sum_{k=0}^{n} \phi^k X_k \) quando \( n \) tende ao infinito. Inicialmente, o Teorema do Limite Central é uma poderosa ferramenta que afirma que, dados alguns requisitos, a média amostral de uma população qualquer tenderá a seguir uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta. Contudo, isso se aplica a médias amostrais, não a somas ponderadas em que cada \( X_k \) é multiplicado por um fator de pesos \( \phi^k \) com \( |\phi| < 1 \).
O fato de \( |\phi| < 1 \) implica que os pesos \( \phi^k \) decrescem para zero a medida que \( k \) aumenta, o que distorce a influência de valores extremos na soma \( S_n \).
Dessa forma, a convergência da variável padronizada \( \frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{Var[S_n]}} \) não se garante, porque a própria soma \( S_n \) pode não se comportar como uma variável normal. Portanto, a conclusão de que a variável padronizada converge para uma distribuição normal padrão para \( n \to +\infty \) está incorreta. Por isso, a resposta correta é que a afirmação é ERRADA.
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