Questão FC100064
Considerando uma sequência de variáveis aleatórias discretas {Xk}, em que P(Xk = −0,2k) = P(Xk = 0,2k) = 0,5, para k ∈ {1,2,...}, julgue o item a seguir, com relação à soma Com bas
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com base no teorema central do limite, se E[Sn] e Var[Sn] representam, respectivamente, a média e a variância de Sn, então
→ N(0, 1) à medida que n → +∞Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A questão apresentada refere-se a uma sequência de variáveis aleatórias discretas, onde temos \( P(X_k = -0,2^k) = P(X_k = 0,2^k) = 0,5 \). Ao analisarmos a soma \( S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k \), é fundamental compreender como se aplicam os conceitos de média e variância no contexto do teorema do limite central. O enunciado sugere que a forma normalizada de \( S_n \) converge para uma distribuição normal padrão, isto é, \( \frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{Var[S_n]}} \overset{D}{\to} N(0,1} \) à medida que \( n \to +\infty \). No entanto, essa afirmação é incorreta. O teorema do limite central nos indica que para a soma de variáveis independentes \( X_1, X_2, \ldots, X_n \), a distribuição de \( S_n \) converge para uma normal em função de \( n \cdot \mu \) e \( n \cdot \sigma^2 \), onde \( \mu \) é a média e \( \sigma^2 \) é a variância de cada \( X_k \). Em nosso caso, \( E[X_k] = 0 \) e a variância é um cálculo mais sutil, que não será simplesmente \( Var[S_n] \) em relação a \( n \). Portanto, a normalização correta deve ser \( \frac{S_n - n \cdot E[X_k]}{\sqrt{n \cdot Var[X_k]}} \), levando à convergência para uma distribuição normal, mas não ao formato apresentado na questão. Assim, a correta aplicação do teorema nos diz que a resposta feche do item em análise é ERRADA.
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