Questão FC100065
Considerando que X1,X2,...Xn seja uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, tais que P(Xk= x) = p(1−p)x em qual x ∈ {0,1,2,3,...},0 < p ≤ 1
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2022
, então, segundo a lei fraca dos grandes números, X̄n converge em probabilidade para 
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: No contexto apresentado, temos uma sequência de variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn que representa uma distribuição geométrica, onde a probabilidade é dada por P(Xk = x) = p(1−p)x para x ∈ {0,1,2,...} e 0 < p ≤ 1. Essa distribuição modela o número de tentativas até a primeira "falha". Aqui, a expectativa (ou valor esperado) da variável aleatória é crucial para entendermos a convergência da média amostral, X̄n = (1/n) ∑k=1nXk.
Segundo a lei fraca dos grandes números, a média amostral converge em probabilidade para a média da população, que no caso da distribuição geométrica é dada por E[X] = (1 − p)/p. Assim, a alegação de que X̄n converge para 1/p é incorreta, pois isso ignora o valor esperado real da variável. Para confirmar isso, pode-se calcular o valor esperado explicitamente usando a soma infinita E[X] = ∑k=0∞ kP(X = k), que resulta em (1 − p)/p, reforçando que a resposta inicial está realmente ERRADA.
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