Questão FC100070
Uma amostra aleatória simples X1 , ... , Xn é retirada de uma população X uniforme e contínua no intervalo [ a, a + 1], em que a ∈ R é um parâmetro desconhecido. Considerando que X
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Considerando que X̄ seja a média amostral e que X(1) = min{X1 , ... , Xn} e X(n) = max{X1 , ... , Xn} denotem as estatísticas extremais, julgue os itens que se seguem.
X(1) segue, assintoticamente, distribuição normal.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A afirmação é ERRADA porque o Teorema Central do Limite garante normalidade assintótica para somas e médias amostrais, não para estatísticas de extremos.
Para \(X\sim\) Uniforme\([a,a+1]\), o mínimo amostral tem densidade \(f_{X_{(1)}}(x)=n\big(1-(x-a)\big)^{\,n-1}\), \(x\in[a,a+1]\), isto é, \(X_{(1)}-a\) segue uma distribuição Beta(1,n) escalada.
Além disso, o comportamento assintótico do mínimo é diferente, de fato \(X_{(1)}\xrightarrow{p}a\) e a escala apropriada é \(n(X_{(1)}-a)\). Tem-se \(\mathbb{P}(n(X_{(1)}-a)>t)\to e^{-t}\), ou seja \(n(X_{(1)}-a)\xrightarrow{d}\) exponencial(1). Portanto, o mínimo não converge para uma normal.
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