Questão FC100082
O item a seguir é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de Estatística e Econometria. Considerando as propriedades da expectativa co
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CEBRASPE (CESPE) · 2022
Considerando as propriedades da expectativa condicional, caso X e Y sejam variáveis aleatórias possivelmente correlacionadas, tem-se que E(XY +cX2log(X)+Y2|X) = cX2log(X)+Y2 +XE(Y|X).
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar a afirmação proposta, que busca aplicar propriedades da expectativa condicional, começando por decompor a expressão dada. A expectativa condicional \( E(XY + cX^2 \log(X) + Y^2 | X) \) pode ser decomposta pela linearidade do operador de expectativa, resultando em:
\( E(XY | X) + E(cX^2 \log(X) | X) + E(Y^2 | X) \).
Aqui, a primeira parte, \( E(XY | X) \), pode ser simplificada para \( XE(Y | X) \), utilizando o fato de que \( X \) tem um valor fixo quando condicionalizado a si mesmo.
A segunda parte, \( E(cX^2 \log(X) | X) \), se torna simplesmente \( cX^2 \log(X) \), uma vez que \( cX^2 \log(X) \) não contém informações adicionais sobre \( Y \).
No entanto, para \( E(Y^2 | X) \), não podemos afirmar que este valor é simplesmente \( Y^2 \), pois \( Y \) e \( X \) podem estar correlacionados. Isso implica que o valor esperado de \( Y^2 \) pode depender de \( X \) e não é constante.
Portanto, a expressão correta deveria incluir um componente do \( E(Y^2 | X) \) e isso nos leva a concluir que a assertiva inicial é de fato ERRADA, pois não podemos confirmar que \( E(Y^2 | X) = Y^2 \).
Assim, a formulação correta da expectativa condicional nos leva a um entendimento mais profundo sobre a interrelação entre \( X \) e \( Y \).
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