Questão FC100107
Um modelo de regressão linear simples é especificado como Yi = α+Xi⋅β+εi em que E[εi] = 0 e Var[εi] = σ2 . Para estimadores α′ e β′ , o valor predito para observação com caracterís
Regressão
com característica Xi é dado por 
. O resíduo para observação 
é definido como 
. De uma amostra aleatória de tamanho 49, coletada da população desse modelo de regressão linear simples, obteve-se:
em que my é a média amostral de Y.
Em relação às informações precedentes, julgue o item a seguir, considerando que o percentil 95% de uma distribuição F, com 1 grau de liberdade no numerador e 47 graus de liberdade no denominador, é igual a 4,05, e que o percentil 95% de uma distribuição qui-quadrado com 47 graus de liberdade é 64.
Se ε segue uma distribuição normal, o estimador de máxima verossimilhança e o estimador de mínimos quadrados geram as mesmas estimativas para α e β.
Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: O gabarito é CERTO por uma razão muito interessante relacionada à natureza dos estimadores em regressão linear simples. Quando dizemos que os resíduos (\( \epsilon \)) seguem uma distribuição normal, estamos entrando em um território onde os conceitos de máximas verossimilhanças e mínimos quadrados se entrelaçam de forma harmônica.
Para entender isso, precisamos lembrar que o método de mínimos quadrados procura minimizar a soma dos quadrados dos resíduos, enquanto o método de máxima verossimilhança busca encontrar os parâmetros que maximizam a probabilidade de observar os dados coletados, dado um modelo.
O ponto crucial aqui é que, sob a hipótese de normalidade dos erros, ambos os métodos convergem para os mesmos valores de \( \alpha \) e \( \beta \). Isso ocorre porque, neste cenário, a minimização da soma dos quadrados é equivalente à maximização da função de verossimilhança. Em outras palavras, as estimativas que obtivermos por um método serão iguais às do outro quando a suposição de normalidade é válida. Assim, fica demonstrado que, de fato, o estimador de máxima verossimilhança e o estimador de mínimos quadrados geram as mesmas estimativas para \( \alpha \) e \( \beta \), corroborando o item apresentado. Esse entendimento é fundamental para a atuação em estatística, pois ilustra como suposições sobre a distribuição dos dados impactam os resultados obtidos!
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em