Questão FC100114
Julgue o item seguinte, referente a regressão linear e séries temporais. Para o modelo de regressão linear simples Y = β +β X+ε, em que ε ∼ N(0,σ2) é uma variável aleatória indepen
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Para o modelo de regressão linear simples Y = β +β X+ε, em que ε ∼ N(0,σ2) é uma variável aleatória independente de x, se Y ′ = β0 +β1 X então E[(Y −EY)2] = E[(Y′ −EY)2] então.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para entender a assertiva apresentada, precisamos analisar as três variáveis em jogo: \( Y \), \( Y' \) e \( \epsilon \). O modelo de regressão linear simples é dado por Y = β0 + β1X + ε, onde \( \epsilon \) representa um erro aleatório que tem média zero (N(0,σ²)) e é independente de \( X \). Isso implica que a média de \( Y \) é simplesmente a função de \( X \) sem levar em conta o erro: \( E[Y] = β0 + β1X \), que é exatamente como definimos \( Y' \). Portanto, podemos afirmar que \( E[Y] = Y' \).
Agora, a questão nos pede para avaliar se \( E[(Y - E[Y])^2] = E[(Y' - E[Y])^2] \). Calculando o primeiro lado, temos:
\( E[(Y - E[Y])^2] = E[(β0 + β1X + ε - (β0 + β1X))^2] = E[ε^2] \). Por definição, isso é igual à variância do erro, \( \sigma^2 \), já que a média de \( ε \) é zero.
Por outro lado, para a segunda parte, ao substituirmos \( E[Y] \) por \( Y' \), obtemos:
\( E[(Y' - E[Y])^2] = E[(Y' - Y')^2] = E[0^2] = 0 \).
Aqui, notamos uma clara discrepância: enquanto \( E[(Y - E[Y])^2] = \sigma^2 \) é um valor positivo, \( E[(Y' - E[Y])^2] \) é zero. Portanto, dado que \( \sigma^2 \neq 0 \), a igualdade proposta na questão não se sustenta, levando à conclusão correta de que a assertiva é ERRADA.
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