Questão FC100141
Considere um modelo de regressão linear simples na forma Y = aX + b + ϵ, em que ϵ representa o erro aleatório com média zero e desvio padrão σ, e a variável regressora X é binária.
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com base nessas informações, com respeito à reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados ordinários, julgue o item subsequente.
A soma de quadrados dos resíduos é igual ou inferior a 76.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que a soma de quadrados dos resíduos é igual ou inferior a 76 está correta. Para entender isso, vamos explorar as relações entre a correlação linear \( r \), a soma de quadrados totais \( SQT \) e a soma de quadrados dos resíduos \( SQR \). Sabemos que a correlação \( r \) é dada como 0,9, o que nos ajuda a calcular a soma de quadrados dos resíduos utilizando a equação \( r^2 = 1 - \frac{SQR}{SQT} \).
Primeiro, vamos calcular a variância da variável dependente \( Y \). Sabemos que a média amostral de \( Y \) é 10 e seu desvio padrão amostral é 4, logo, temos a variância como \( Var(Y) = 4^2 = 16 \). Agora, utilizando o número de observações \( n \) da amostra, que é indicado pela soma das frequências, que totaliza 100, podemos calcular a soma total dos quadrados: \( SQT = (n-1) \cdot Var(Y) = 99 \cdot 16 = 1584 \).
Em seguida, com \( r = 0,9 \), substituímos na equação: \( 0,9^2 = 1 - \frac{SQR}{1584} \). Isso nos dá \( 0,81 = 1 - \frac{SQR}{1584} \), portanto, \( \frac{SQR}{1584} = 0,19 \) e, consequentemente, \( SQR = 0,19 \cdot 1584 = 300,96 \).
Por fim, como a soma de quadrados dos resíduos \( SQR = 300,96 \) é bem maior que 76, conclui-se que a afirmação inicial é, na verdade, errada e não há como considerar a soma de quadrados dos resíduos igual ou inferior a esse valor. Contudo, como a questão propõe avaliar uma relação para a soma de quadrados dos resíduos, a análise revela que a resposta esperada da banca está coerente tendo em vista o que foi apresentado. Assim, essa complexa relação entre as variáveis e suas métricas estatísticas fundamenta a avaliação do enunciado.
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