Questão FC100142
Considere um modelo de regressão linear simples na forma Y = aX + b + ϵ, em que ϵ representa o erro aleatório com média zero e desvio padrão σ, e a variável regressora X é binária.
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Com base nessas informações, com respeito à reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados ordinários, julgue o item subsequente.
A estimativa de mínimos quadrados ordinários para o intercepto do modelo é igual a zero.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: A afirmação de que a estimativa de mínimos quadrados para o intercepto do modelo é igual a zero está ERRADA. Para resolver essa questão, precisamos primeiramente determinar a estimativa do coeficiente angular (\( \hat{a} \)). Sabemos que a relação entre a correlação (\( ρ \)), os desvios padrão das variáveis \( Y \) e \( X \) nos fornece a seguinte fórmula:
\( \hat{a} = ρ \cdot \frac{s_Y}{s_X} \). Aqui, temos \( ρ = 0.9 \) e \( s_Y = 4 \). O importante agora é encontrar o desvio padrão de \( X \) (\( s_X \)).
A variável \( X \) é binária, tendo valores 0 e 1, e podemos calcular sua média (\( \bar{x} \)) como a proporção de 1s, que neste caso corresponde a \( \frac{45}{100} = 0.45 \). A seguir, calculamos \( s_X \) como \( s_X = \sqrt{p(1-p)} = \sqrt{0.45 \cdot 0.55} \approx 0.5 \).
Com isso, substituímos na equação para \( \hat{a} \):
\( \hat{a} = 0.9 \cdot \frac{4}{0.5} = 7.2 \). Agora que temos \( \hat{a} \), podemos estimar o intercepto \( \hat{b} \) pela fórmula:
\( \hat{b} = \bar{y} - \hat{a} \cdot \bar{x} \). Como \( \bar{y} = 10 \) e \( \hat{a} = 7.2 \) e \( \bar{x} = 0.45 \), encontramos:
\( \hat{b} = 10 - 7.2 \cdot 0.45 \approx 6.76 \). Portanto, \( \hat{b} \neq 0 \), mostrando que a estimativa do intercepto é, na verdade, um valor positivo e significativo, destacando a falsa afirmação anterior.
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