Questão FC100144
O quadro a seguir mostra as estimativas de mínimos quadrados ordinários dos coeficientes de um modelo de regressão linear simples na forma yi = β0 +β1 xi +ϵi, em que i ∈ {1,...,6}
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Considerando essas informações e sabendo que
, julgue o item seguinte.A covariância entre a variável resposta (y) e a variável explicativa (x) é igual ou superior a 0,2.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a afirmação sobre a covariância entre a variável resposta (y) e a variável explicativa (x) ser igual ou superior a 0,2 está incorreta, devemos explorar alguns conceitos essenciais da regressão linear simples. Na equação \( y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i \), o coeficiente \( \beta_1 \) representa a relação entre (x) e (y), e sua estimativa é dada por \( \hat{\beta}_1 = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)} \). Além disso, a variância do estimador de \( \hat{\beta}_1 \) é dada por \( Var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2}{S_{xx}} \), onde \( S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2 \). No caso apresentado, temos que a variância do estimador foi calculada como \( 0,0025 \) e a variância do erro \( \sigma^2 \) é igual a \( 0,01 \). Assim, encontramos que \( S_{xx} = \frac{0,01}{0,0025} = 4 \). Com isso, podemos substituir esse valor na expressão para \( Cov(X,Y) \): \( Cov(X,Y) = \hat{\beta}_1 \cdot S_{xx} = 0,2 \cdot 4 = 0,8 \). Contudo, neste caso, a covariância correta é \( Cov(X,Y) = \hat{\beta}_1 \cdot \frac{S_{xx}}{n-1} = 0,2 \cdot \frac{4}{5} = 0,16 \). Portanto, concluímos que \( 0,16 < 0,2 \), esclarecendo assim que a covariância na prática é menor que 0,2, levando ao gabarito a ser considerado ERRADO.
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