Questão FC100146
Julgue o item subsequente, considerando oito pares de valores das variáveis X e Y, tais que Σ X = 24; Σ Y = 49; Σ X.Y = 181; Σ X2 = 100 e Σ Y2 = 343. A reta dos mínimos quadrados o
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2022
A reta dos mínimos quadrados ordinários que representa a regressão linear simples de Y em X com intercepto não nulo terá coeficiente linear aproximado de 2,48.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para determinar o coeficiente linear da reta de regressão que melhor se ajusta aos dados das variáveis X e Y, devemos inicialmente calcular o coeficiente angular (\( \hat{\beta} \)). Este é obtido através da fórmula:
\( \hat{\beta} = \frac{n \Sigma XY - \Sigma X \Sigma Y}{n \Sigma X^2 - (\Sigma X)^2} \).
Substituindo os valores disponíveis na questão:
\( n = 8 \), \( \Sigma XY = 181 \), \( \Sigma X = 24 \), \( \Sigma Y = 49 \), e \( \Sigma X^2 = 100 \), o cálculo se desenvolve assim:
\( \hat{\beta} = \frac{8 \cdot 181 - 24 \cdot 49}{8 \cdot 100 - 24^2} = \frac{1448 - 1176}{800 - 576} = \frac{272}{224} \approx 1,21 \).
Agora que temos o coeficiente angular, podemos encontrar o coeficiente linear (\( \hat{\alpha} \)) utilizando a média das variáveis:
\( \hat{\alpha} = \bar{Y} - \hat{\beta} \bar{X} \).
As médias são calculadas como \( \bar{X} = \frac{\Sigma X}{n} = \frac{24}{8} = 3 \) e \( \bar{Y} = \frac{\Sigma Y}{n} = \frac{49}{8} \approx 6,125 \).
Substituindo os valores:
\( \hat{\alpha} = 6,125 - 1,21 \cdot 3 \approx 6,125 - 3,63 \approx 2,495 \).
Portanto, a afirmação de que o coeficiente linear aproximado é 2,48 está correta, pois essa é a conclusão que obtemos neste cálculo, validando a resposta como CERTA.
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