Questão FC100163
Um modelo de regressão linear simples é especificado como Yi = α+Xi⋅β+εi em que E[εi] = 0 e Var[εi] = σ2. Para estimadores α′ e β′ , o valor predito para observação com característ
Regressão
com característica Xi é dado por 
. O resíduo para observação 
é definido como 
. De uma amostra aleatória de tamanho 49, coletada da população desse modelo de regressão linear simples, obteve-se:
em que my é a média amostral de Y.
Em relação às informações precedentes, julgue o item a seguir, considerando que o percentil 95% de uma distribuição F, com 1 grau de liberdade no numerador e 47 graus de liberdade no denominador, é igual a 4,05, e que o percentil 95% de uma distribuição qui-quadrado com 47 graus de liberdade é 64.
Se ε segue uma distribuição normal, o teste de hipótese da hipótese nula que β = 0 contra a alternativa de β ≠ 0 leva à rejeição da hipótese nula ao nível de significância de 5%.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para chegar à conclusão sobre a hipótese nula \( \beta = 0 \), empregamos o teste F, que é uma técnica fundamental na análise de regressão. O valor de F é calculado como a razão entre o quadrado médio da regressão e o quadrado médio dos resíduos:
\( F = \frac{QM_{\text{Regressão}}}{QM_{\text{Resíduos}}} \).
Neste caso, a soma dos quadrados da regressão é dividida por 1 (pois é uma regressão simples) e obtemos o valor de \( QM_{\text{Regressão}} = 36.464 \)
Já o quadrado médio dos resíduos é calculado dividindo a soma dos quadrados residuais por \( n-2 \) (onde \( n \) é o tamanho da amostra), resultando em \( QM_{\text{Resíduos}} = 365.38 \).
Logo, ao substituirmos esses valores na fórmula do F, temos:
\( F = \frac{36.464}{365.38} \approx 99.7 \).
Com essa estatística F calculada, a próxima etapa é compará-la com o valor crítico da distribuição F, que para nosso teste é 4.05.
O valor obtido (99.7) é claramente superior ao crítico, indicando que temos evidência mais que suficiente para rejeitar a hipótese nula a 5% de significância, concluindo que \( \beta \neq 0 \) é uma afirmação válida. Portanto, a proposta de que a inclinação da reta de regressão é estatisticamente significativa encontra apoio robusto nesta análise. A resposta está, portanto, correta e justificada.
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