Questão FC100164
Um modelo de regressão linear simples é especificado como Yi = α+Xi⋅β+εi em que E[εi] = 0 e Var[εi] = σ2. Para estimadores α′ e β′ , o valor predito para observação com característ
Regressão
com característica Xi é dado por 
. O resíduo para observação 
é definido como 
. De uma amostra aleatória de tamanho 49, coletada da população desse modelo de regressão linear simples, obteve-se:
em que my é a média amostral de Y.
Em relação às informações precedentes, julgue o item a seguir, considerando que o percentil 95% de uma distribuição F, com 1 grau de liberdade no numerador e 47 graus de liberdade no denominador, é igual a 4,05, e que o percentil 95% de uma distribuição qui-quadrado com 47 graus de liberdade é 64.
Se ε segue uma distribuição normal, o teste de hipótese da hipótese nula que σ2 = 270 contra a alternativa de σ2 > 270 leva à rejeição da hipótese nula ao nível de significância de 5%.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Comentário: O gabarito indica que a afirmação está ERRADA; e vamos entender o porquê com clareza.
O teste de hipóteses para a variância populacional \( \sigma^2 \) é conduzido utilizando a distribuição qui-quadrado. A estatística de teste é definida como:
\( \chi^2 = \frac{(n-2) \hat{\sigma}^2}{\sigma_0^2} \), onde \( \hat{\sigma}^2 \) é a variância dos resíduos obtida pela razão entre a soma de quadrados dos resíduos (SQR) e os graus de liberdade \( (n - 2) \). Precisamos calcular \( \hat{\sigma}^2 \) para prosseguir.
A fórmula para \( \hat{\sigma}^2 \) é:
\( \hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i}(Y_i - Y'_i)^2}{n - 2} = 17,173 \). Assim, substituímos esses valores na estatística de teste:
\( \chi^2 = \frac{47 \cdot 17,173}{270} = 63,6 \).
Comparando a estatística calculada com o valor crítico de qui-quadrado para 47 graus de liberdade (que é 64) no nível de significância de 5%, notamos que \( 63,6 < 64 \). Essa relação nos leva a concluir que a estatística de teste está dentro da região de aceitação, confirmando que não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula. Portanto, a resposta correta é que não se rejeita a hipótese de \( \sigma^2 = 270 \) ao nível de significância de 5%, o que justifica o gabarito ERRADO.
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