Questão FC100199
Considere um modelo de regressão linear múltipla na forma y = Xβ + ε, em que y representa o vetor de respostas, X denota a matriz de dados, é o vetor de coeficientes e ε é o vetor
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2022
em que y representa o vetor de respostas, X denota a matriz de dados,
é o vetor de coeficientes e ε é o vetor de erros aleatórios independentes e identicamente distribuídos. Admita, ainda, que cada elemento do vetor ε possui média zero e variância 4. Além disso, considere que X' represente a matriz transposta de X e que a matriz inversa de X' X seja
denota o estimador de mínimos quadrados ordinários de β.
Acerca do modelo apresentado, julgue o próximo item.
A estimativa de mínimos quadrados ordinários para o coeficiente β1 é igual a 0.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a estimativa de mínimos quadrados ordinários do coeficiente β1 é igual a 0, precisamos mergulhar na forma matricial da regressão linear múltipla. O modelo pode ser expresso como
\( y = Xβ + ε \)
onde \( y \) representa o vetor de respostas, \( X \) é a matriz de variáveis independentes e \( β \) é o vetor dos coeficientes que queremos estimar. A solução para os coeficientes estimados pelo método dos mínimos quadrados é dada por
\( β^ = (X'X)^{-1}X'y \)
Agora, consideramos os dados que temos. Ao multiplicar a matriz \( (X'X)^{-1} \) pela matriz \( X'y \), obtemos os estimadores. Ao analisar as matrizes fornecidas, o produto relevante que nós buscamos é
\( β^1 = \text{segunda linha de } (X'X)^{-1}X'y \).
Se precisarmos determinar esta segunda linha, notamos que, em nossa situação, ela foi calculada a partir de dados que levam a somas que se anulam, uma vez que todos os elementos indicam que suas contribuições positivas e negativas se equilibram, resultando em β1 = 0.
Portanto, podemos então concluir que a estimativa para esse coeficiente é efetivamente ZERO. Isso está em total alinhamento com a informação fornecida. Assim, a afirmativa está correta: CERTO.
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