Questão FC100202
Considere um modelo de regressão linear múltipla na forma y = Xβ + ε, em que y representa o vetor de respostas, X denota a matriz de dados, é o vetor de coeficientes e ε é o vetor
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2022
y = Xβ + ε,
em que y representa o vetor de respostas, X denota a matriz de dados,
é o vetor de coeficientes e ε é o vetor de erros aleatórios independentes e identicamente distribuídos. Admita, ainda, que cada elemento do vetor ε possui média zero e variância 4. Além disso, considere que X' represente a matriz transposta de X e que a matriz inversa de X' X seja
denota o estimador de mínimos quadrados ordinários de β.
Acerca do modelo apresentado, julgue o próximo item.
Cada elemento do vetor y possui desvio padrão igual a 2.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos analisar o modelo de regressão linear múltipla que foi apresentado na forma
\(y = X\beta + \varepsilon\)
onde \(y\) é o vetor das respostas e \(\varepsilon\) é o vetor dos erros aleatórios. A questão menciona que cada elemento do vetor \(\varepsilon\) possui uma variância de 4. Isto é fundamental porque a variância de um vetor é, em essência, um reflexo das variações contidas nos seus elementos.
Como a variância do vetor de respostas \(y\) é determinada pela variância dos erros (assumindo que as variáveis explicativas em \(X\) não introduzem variabilidade adicional que afete essa relação), podemos inferir que a variância de cada elemento do vetor \(y\) é também 4. Agora, para encontrar o desvio padrão, fazemos a raiz quadrada da variância. Portanto, o desvio padrão de cada elemento de \(y\) é:
\( \sigma_y = \sqrt{4} = 2 \)
Assim, concluímos que cada elemento do vetor \(y\) realmente apresenta um desvio padrão de 2, corroborando a afirmação que a questão apresenta como correta.
Logo, a sentença é explicitamente CERTO.
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