Questão FC100220
Considere um modelo de regressão linear múltipla na forma y = Xβ + ε, em que y representa o vetor de respostas, X denota a matriz de dados, é o vetor de coeficientes e ε é o vetor
Regressão
CEBRASPE (CESPE) · 2022
em que y representa o vetor de respostas, X denota a matriz de dados,
é o vetor de coeficientes e ε é o vetor de erros aleatórios independentes e identicamente distribuídos. Admita, ainda, que cada elemento do vetor ε possui média zero e variância 4. Além disso, considere que X' represente a matriz transposta de X e que a matriz inversa de X' X seja
denota o estimador de mínimos quadrados ordinários de β
Acerca do modelo apresentado, julgue o próximo item.
Se o vetor ε for constituído por n elementos independentes que seguem uma distribuição normal com média zero e variância 4, então
se distribui conforme uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Vamos desvendar essa questão sobre distribuição qui-quadrado com a clareza de um dia ensolarado! Considerando que o vetor ε é formado por n variáveis independentes que seguem uma distribuição normal com média zero e variância 4, podemos representar ε como:
ε = [ε1, ε2, ..., εn].
O que nos interessa é explorar a soma dos quadrados dessas variáveis, ou seja, \( \sum_{i=1}^{n} ε_{i}^{2} \). Sabemos que, para variáveis normais standard (com média 0 e variância 1), essa soma segue uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade: \( X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + ... + X_{n}^{2} \sim \chi^{2}(n) \). No nosso caso, nós temos uma variância de 4; portanto, as variáveis ε não são padrão, mas podemos transformar a situação. Ao dividir cada termo da soma \( \sum_{i=1}^{n} ε_{i}^{2} \) por 4, obtemos uma nova soma que equivale a uma distribuição qui-quadrado:
\( \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} ε_{i}^{2} \sim \frac{1}{4} \cdot \chi^{2}(n) \).
A conclusão é que a versão transformada da soma dos quadrados, quando normalizada, se transforma em uma qui-quadrado com n graus de liberdade, o que nos leva à afirmação inicial da banca, que está correta: a essência do resultado se preserva. Portanto, a resposta é CERTA. Isso mostra a beleza da estatística e como transformações simples podem nos levar a conclusões verdadeiras!
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