Questão FC101237
Com base nas informações do quadro precedente, que apresenta estatísticas descritivas referentes a duas variáveis quantitativas, X e Y , e sabendo que a covariância amostral entre
Estatística Descritiva
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Com base nas informações do quadro precedente, que apresenta estatísticas descritivas referentes a duas variáveis quantitativas, X e Y , e sabendo que a covariância amostral entre elas é igual a 15, julgue o item a seguir.
Se
, então a média amostral de Z é igual a 8.Mostrar resposta e comentário
Gabarito
Certo
Comentário do professor
Comentário: Para entender por que a média amostral de Z é igual a 8, vamos explorar algumas propriedades do valor esperado. Começamos definindo a variável Z como a média ponderada de X e Y por meio da expressão:
\(Z = \frac{2X + Y}{3}\).
Aqui, X e Y são variáveis aleatórias com a média amostral também igual a 8, ou seja, \(E[X] = E[Y] = 8\).
A propriedade fundamental do valor esperado nos diz que, ao realizarmos operações lineares em uma variável aleatória, o valor esperado se comporta de maneira previsível:
- Se confrontamos uma constante, devemos somá-la ao valor esperado:
\(E[X + a] = E[X] + a\)
- Se multiplicamos a variável por um escalar, o valor esperado é multiplicado pelo mesmo escalar:
\(E[aX] = aE[X]\)
Assim, podemos calcular o valor esperado da variável Z:
\(E[Z] = E\left[\frac{2X + Y}{3}\right] = \frac{1}{3} E[2X + Y]
Agora, aplicamos a propriedade da soma:
\(E[2X + Y] = E[2X] + E[Y]
Vamos calcular cada termo separadamente:
\(E[2X] = 2E[X] = 2 \cdot 8 = 16
\(E[Y] = 8
Substituindo os valores, temos:
\(E[2X + Y] = 16 + 8 = 24
Finalmente, voltando à média amostral de Z:
\(E[Z] = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8
Portanto, a média amostral de Z é, de fato, 8. Assim, a afirmação está correta, revelando a beleza das propriedades do valor esperado!
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em