A partir de uma amostra aleatória simples de tamanho n, sabe-se que a média aritmética de uma variável X foi igual a 3. Considerando que os valores possíveis para a variável X seja

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Da média amostral igual a 3, supondo que a proporção de observações com valor 4 seja \(p\), temos \(4p+(-1)(1-p)=3\), então \(5p-1=3\) e \(p=0{,}8\).

Calculemos a esperança dos quadrados, \(E[X^2]=0{,}8\cdot16+0{,}2\cdot1=13\). A variância populacional é \( \sigma^2=E[X^2]-(E[X])^2=13-3^2=4\), portanto o desvio padrão populacional é \(\sigma=2\).

O desvio padrão amostral usa o ajuste \(\sqrt{\dfrac{n}{\,n-1\,}}\), logo \(s=\sigma\sqrt{\dfrac{n}{\,n-1\,}}=2\sqrt{\dfrac{n}{\,n-1\,}}\). Como \(\sqrt{\dfrac{n}{\,n-1\,}}>1\) para \(n\ge2\), segue que \(s\ge2\).

Portanto, a afirmação é certa, considerando amostras com \(n\ge2\). (Para \(n=1\) o desvio amostral não é definido.)