Considerando que X e Y sejam variáveis aleatórias que seguem a distribuição normal padrão, tais que E[(2X + Y)2] = 7, julgue o próximo item. A variância da soma 2X + Y é igual a 7.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Partimos do fato dado \(E[(2X+Y)^2]=7\), que é o momento de segunda ordem da variável \(2X+Y\).

Por definição, a variância de uma v.a. \(Z\) é \(Var(Z)=E[Z^2]-(E[Z])^2\). Aplicando a \(Z=2X+Y\) obtemos \(Var(2X+Y)=E[(2X+Y)^2]-(E[2X+Y])^2\).

Como \(X\) e \(Y\) são normais padrão, têm média zero, isto é \(E[X]=E[Y]=0\), logo \(E[2X+Y]=2E[X]+E[Y]=0\).

Substituindo, \(Var(2X+Y)=7-0^2=7\). Não foi necessária a hipótese de independência, apenas as médias nulas.