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Questão FC371840

A variável aleatória \(X= \begin{bmatrix}X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix}\) apresenta uma distribuição normal multivariada com vetor de média \(\mu\) dado por \(\begin{bmatrix}1 \\

Variáveis Aleatórias

FCC · 2022

A variável aleatória \(X= \begin{bmatrix}X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix}\) apresenta uma distribuição normal multivariada com vetor de média \(\mu\) dado por \(\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}\) e matriz de covariância \(Σ = \begin{bmatrix}1 & 0 &-1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}\). Considerando uma outra variável aleatória \(Y=2X_1-X_2+X_3\), obtém-se que a variância relativa de Y, definida como o resultado da divisão da variância de Y pelo quadrado da média de Y, é igual a

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Gabarito

D

Comentário do professor

Aplique \(Y=2X_1-X_2+X_3\). Primeiro calcule a média de \(Y\): \(E(Y)=2E(X_1)-E(X_2)+E(X_3)=2\cdot1-2+4=4\).

Para a variância use a forma matricial \(Var(Y)=a^\top \Sigma a\), com \(a=(2,-1,1)^\top\). Calcule \(\Sigma a\):

\(\Sigma a=\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&2&0\\-1&0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}\).

Então \(Var(Y)=a^\top(\Sigma a)=[2,-1,1]\cdot[1,-2,1]=2+2+1=5\).

A variância relativa é \(\dfrac{Var(Y)}{E(Y)^2}=\dfrac{5}{4^2}=\dfrac{5}{16}=0{,}3125\).

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