Uma variável aleatória X possui média 0 e matriz de covariância \(\sum=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\). Seja \(Y=X_1+X_2\). O valor da variância de Y é

Gabarito

D

Comentário do professor

Da matriz de covariância \(\Sigma=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}\) extraímos as variâncias na diagonal: \(\,Var(X_1)=1\) e \(\,Var(X_2)=2\). O elemento fora da diagonal é a covariância: \(Cov(X_1,X_2)=0\).

Para \( \,Y=X_1+X_2\) a fórmula da variância da soma é \(Var[Y]=Var(X_1)+Var(X_2)+2\,Cov(X_1,X_2)\).

Substituindo: \(Var[Y]=1+2+2\cdot 0=3\). Portanto, a variância de \(Y\) é \(\mathbf{3}\).

Observação: a média zero das variáveis não altera o cálculo da variância; usamos apenas variâncias e covariância.