A função de densidade de probabilidade f(x) = K(x + 1), se 0 < x < 4 e f(x) = 0, caso contrário, corresponde a uma variável aleatória X, sendo K um parâmetro real não nulo. A esper

Gabarito

A

Comentário do professor

Para que \(f(x)\) seja densidade, aplicamos a condição de normalização: \(\displaystyle \int_0^4 K(x+1)\,dx=1\).

Calculando a integral: \(K\left[\dfrac{x^2}{2}+x\right]_0^4=K(8+4)=12K\), logo K = 1/12.

Usamos a definição de esperança: \(E(X)=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx = \int_0^4 x\cdot K(x+1)\,dx\).

Substituindo \(K\): \(E(X)=\dfrac{1}{12}\displaystyle \int_0^4 (x^2+x)\,dx = \dfrac{1}{12}\left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4\).

Avalia-se: \(\dfrac{1}{12}\left(\dfrac{64}{3}+8\right)=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{88}{3}=\) \(\dfrac{22}{9}\).