Seja uma variável aleatória X com uma função de densidade de probabilidade dada por f(x) = 1,5(−x2 + 2x), se 0 < x < 1 e f(x) = 0, caso contrário. O módulo da diferença entre a méd

Gabarito

B

Comentário do professor

Média: calculamos o valor esperado \(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx\). Como \(f(x)=\tfrac{3}{2}(-x^2+2x)\) para \(0

Cálculo: avaliando a integral, \(E(X)=\tfrac{3}{2}\left[-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2x^3}{3}\right]_0^1=\tfrac{3}{2}\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{15}{24}=\dfrac{5}{8}\).

Moda: a moda é o ponto que maximiza \(f(x)\). Tomando a derivada, \(f'(x)=\tfrac{3}{2}(-2x+2)\). Igualando a zero obtemos \(-2x+2=0\Rightarrow x=1\). Assim, a moda é \(1\).

Resultado: o módulo da diferença entre média e moda é \(\left|\tfrac{5}{8}-1\right|=\tfrac{3}{8}\), que corresponde à alternativa correta.