Verifica-se que uma variável aleatória X tem uma função densidade de probabilidade dada por \(f(x)=\begin{cases}{\large{x+1 \over K}}, se \, 0 \le x < 2 \\0, \text{caso contrário}

Gabarito

B

Comentário do professor

Para que \(f\) seja densidade, fazemos a normalização: \(\int_0^2 \frac{x+1}{K}\,dx=1\). Assim \(\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_0^2=K\), logo K=4 e \(f(x)=\frac{x+1}{4}\) para \(0\le x<2\).

Calcule a esperança: \(E(X)=\int_0^2 x\frac{x+1}{4}\,dx=\frac{1}{4}\int_0^2(x^2+x)dx=\frac{7}{6}\).
Calcule \(E(X^2)=\int_0^2 x^2\frac{x+1}{4}\,dx=\frac{1}{4}\int_0^2(x^3+x^2)dx=\frac{5}{3}\).

A variância é \(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{5}{3}-\left(\frac{7}{6}\right)^2=\frac{11}{36}\).