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Questão FC371849

Sabe-se que uma variável aleatória contínua X possui uma função densidade de probabilidade dada por \(f(x)=\begin{cases}k(-x^2+2x+3) \, se \, 0 < x < 3 \\ 0, \text{caso contrário}

Variáveis Aleatórias

FCC · 2022

Sabe-se que uma variável aleatória contínua X possui uma função densidade de probabilidade dada por \(f(x)=\begin{cases}k(-x^2+2x+3) \, se \, 0 < x < 3 \\ 0, \text{caso contrário} \end{cases}\), sendo K uma constante real não nula. A soma da esperança de X, denotada por E(X), com a respectiva moda de X é igual a

  1. \(\large{7 \over 4}\)
  2. \(\large{9 \over 4}\)
  3. \(\large{7 \over 12}\)
  4. \(\large{5 \over 4}\)
  5. \(\large{5 \over 12}\)
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Gabarito

B

Comentário do professor

Para determinar a alternativa correta, primeiro normalizamos a densidade: \(1=\int_0^3 k(-x^2+2x+3)\,dx\). Calculando a integral obtém-se \(\int_0^3(-x^2+2x+3)\,dx=9\), logo \(\mathbf{k}=1/9\).

O valor esperado é \(E(X)=\int_0^3 x f(x)\,dx=\dfrac{1}{9}\int_0^3 x(-x^2+2x+3)\,dx\). Avaliando a integral chega-se a \(E(X)=5/4\).

A moda de uma densidade dada por uma parábola \(p(x)=-x^2+2x+3\) (coeficiente quadrático negativo) é o vértice da parábola: \(x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2(-1)}=1\).

Somando \(E(X)\) com a moda: \(\dfrac{5}{4}+1=\dfrac{9}{4}\). Portanto, a resposta correta é \(\mathbf{9/4}\).

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