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Questão FC371850

Seja (X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória de uma variável X e as estatísticas de ordem denotadas por X(1), X(2), ... , X(n), em que X(1) = min(X1, X2, ..., Xn) corresponde ao me

Variáveis Aleatórias

FCC · 2022

Seja (X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória de uma variável X e as estatísticas de ordem denotadas por X(1), X(2), ... , X(n), em que X(1) = min(X1, X2, ..., Xn) corresponde ao menor valor observado na amostra. Sabe-se que X possui uma função densidade dada por f(x) = 1/2, se 0 < x < 2 e que f(x) = 0, caso contrário. A função de distribuição acumulada de X(1), ou seja F(X(1))(x) para 0 < x < 2, é dada por

  1. (1 − x/2)n
  2. (x/2)n
  3. [1 − (1 − x/2)n]
  4. [1 − (x/2)n]
  5. [1 − (1/2)n]
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para a estatística de ordem \(X_{(1)}\) (o menor valor da amostra) queremos a função acumulada \(F_{X_{(1)}}(x)=P(X_{(1)}\le x)\).

Temos \(P(X_{(1)}>x)\) se, e somente se, todas as observações forem maiores que \(x\). Pela independência da amostra: \(P(X_{(1)}>x)=[1-F(x)]^n\). Portanto
\(F_{X_{(1)}}(x)=1-[1-F(x)]^n\).

Para \(X\) com densidade \(f(x)=1/2\) em \(0

Substituindo em \(F_{X_{(1)}}\) obtemos
\(F_{X_{(1)}}(x)=1-\big(1-\tfrac{x}{2}\big)^n\), para \(0

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