A função de densidade de probabilidade de uma variável contínua X é dada por f(x) = kx, se 0 < x \(\le\) 4 e f(x) = 0, caso contrário, sendo k um parâmetro real não nulo. A variânc

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Primeiro, imponha a condição de normalização da densidade: \(\int_{0}^{4} kx\,dx=1\). Isso dá \(k\cdot \dfrac{4^2}{2}=1\), logo \( \mathbf{k}=\dfrac{1}{8}.\)

Calcule a média: \(E(X)=\int_{0}^{4} x\cdot kx\,dx = k\int_{0}^{4} x^2\,dx = k\cdot \dfrac{4^3}{3}=\dfrac{64k}{3}=\dfrac{8}{3}.\)

Calcule o segundo momento: \(E(X^2)=\int_{0}^{4} x^2\cdot kx\,dx = k\int_{0}^{4} x^3\,dx = k\cdot \dfrac{4^4}{4}=64k=8.\)

Logo, a variância é \( \mathbf{Var(X)}=E(X^2)-E(X)^2=8-\left(\dfrac{8}{3}\right)^2= \dfrac{8}{9}.\)

Finalmente, a variância relativa é \(\dfrac{Var(X)}{E(X)^2}=\dfrac{\tfrac{8}{9}}{\tfrac{64}{9}}=\dfrac{1}{8}.\)