A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por f(x) = 3x2 para 0 < x < 1 e f(x) = 0, caso contrário. Sabe-se que U é uma outra variável aleatória tal qu

Gabarito

D

Comentário do professor

Partindo da relação U = X + 1, temos imediatamente \(P\big(U<\tfrac{3}{2}\big)=P\big(X+1<\tfrac{3}{2}\big)=P\big(X<\tfrac{1}{2}\big)\).

Como a função densidade é \(f(x)=3x^2\) para o suporte (0,1), a probabilidade requerida é a integral de \(f\) entre 0 e \(\tfrac{1}{2}\):

\(P\big(X<\tfrac{1}{2}\big)=\int_{0}^{1/2}3x^2\,dx\).

Calculando a integral, a primitiva de \(3x^2\) é \(x^3\), logo

\( \int_{0}^{1/2}3x^2\,dx = x^3\Big|_{0}^{1/2} = \big(\tfrac{1}{2}\big)^3.\)

Portanto, o valor é \(\tfrac{1}{8}\), que corresponde à alternativa correta.