Os sinistros de uma companhia de seguros (em R$ milhões) são modelados por uma variável aleatória contínua X com função densidade de probabilidade dada por: \(f (x) = { \large 2 \o

Gabarito

D

Comentário do professor

Probabilidade de exceder R$ 1,5 milhões é a cauda da distribuição: \(P(X\ge 1,5)=\int_{1,5}^{\infty}f(x)\,dx\), onde \(f(x)=\dfrac{2}{(1+x)^3}\) é a função densidade.

Calculamos \( \displaystyle \int_{1,5}^{\infty}\dfrac{2}{(1+x)^3}\,dx\). Use a antiderivada de \((1+x)^{-3}\): \(\int 2(1+x)^{-3}dx = - (1+x)^{-2}\).

Avalia-se no intervalo: \( \lim_{b\to\infty}\big[-(1+x)^{-2}\big]_{x=1,5}^{x=b} = 0 -\big(-\tfrac{1}{(1+1,5)^2}\big)\).

Portanto \(P(X\ge 1,5)=\dfrac{1}{(2{,}5)^2}=\dfrac{1}{6{,}25}=0{,}16\). Resultado: 0,16.