A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por \(f_X(x) = \begin{cases} 0,2 (x-0,5) \mbox{ para } 2 \le x \le k \\ 0 , \mbox{ caso contrario} \

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para determinar K usamos a condição de normalização: \(1=\int_2^K0{,}2(x-0{,}5)\,dx\). Calculando, \(1=0{,}2\Big(\dfrac{K^2}{2}-0{,}5K-\dfrac{2^2}{2}+0{,}5\cdot2\Big)\), que reduz a \(K^2-K-12=0\). Como \(K>2\), segue \(K=4\).

Calculemos agora as esperanças: \( \displaystyle E(X)=\int_2^4 0{,}2x(x-0{,}5)\,dx =0{,}2\Big[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{4}\Big]_2^4 =\dfrac{47}{15}.\)

\( \displaystyle E(X^2)=\int_2^4 0{,}2x^2(x-0{,}5)\,dx =0{,}2\Big[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{6}\Big]_2^4 =\dfrac{152}{15}.\)

Finalmente, a variância é \(Var(X)=E(X^2)-E(X)^2=\dfrac{152}{15}-\Big(\dfrac{47}{15}\Big)^2=\dfrac{71}{225}.\)