Questão FC371862
A média de uma variável aleatória X, cuja distribuição é desconhecida, é igual a m, com m > 0. Pelo Teorema de Tchebichev, a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (m − θ, m
Variáveis Aleatórias
FCC · 2018
A média de uma variável aleatória X, cuja distribuição é desconhecida, é igual a m, com m > 0. Pelo Teorema de Tchebichev, a probabilidade de X não pertencer ao intervalo (m − θ, m + θ), com m > θ, é no máximo igual a 16%. O desvio padrão de X é então igual a θ multiplicado por
- 2/5.
- 1/4.
- 2/3.
- 4/9.
- 1/2.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Teorema de Tchebichev: para qualquer variável com média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\), vale \(P(|X-\mu|1\).
No enunciado a probabilidade de X não pertencer ao intervalo \((m-\theta,m+\theta)\) é no máximo 16%, logo a probabilidade de pertencer ao intervalo é pelo menos 84%. Assim:
\(1-\dfrac{1}{k^2}=0{,}84 \Rightarrow \dfrac{1}{k^2}=0{,}16 \Rightarrow k^2=6{,}25 \Rightarrow k=2{,}5\).
Como o intervalo tem meia‑amplitude \(\theta\), temos \(\theta=k\sigma\). Isolando \(\sigma\):
\(\sigma=\dfrac{\theta}{k}=\dfrac{\theta}{2{,}5}=\dfrac{2}{5}\theta\).
Portanto, o desvio padrão é \(\dfrac{2}{5}\theta\).
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