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Questão FC371865

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por \(f(x)={\large{3 \over 8}}x^2\), se \(0 < x < 2\) e \(f(x)=0\), caso contrário. A função densidade de pro

Variáveis Aleatórias

FCC · 2022

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por \(f(x)={\large{3 \over 8}}x^2\), se \(0 < x < 2\) e \(f(x)=0\), caso contrário. A função densidade de probabilidade g(u) para a variável aleatória \(U={\large{1 \over 2}}(x+2)\) é então

  1. \(g(u)={\large{1 \over 2}}(u+2)^2\), se \(0 < u < 2\) e \(g(u)=0\), caso contrário.
  2. \(g(u)={\large{3 \over 2}}(u+2)^2\), se \(0 < u < 2\) e \(g(u)=0\). caso contrário.
  3. \(g(u)={\large{3 \over 8}}(2u-2)^2\), se \(1 < u < 2\) e \(g(u)=0\), caso contrário.
  4. \(g(u)={\large{3 \over 4}}(u+2)^2\), se \(1 < u < 2\) e \(g(u)=0\), caso contrário.
  5. \(g(u)={\large{3 \over 4}}(2u-2)^2\), se \(1 < u < 2\) e \(g(u)=0\), caso contrário.
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

A solução usa a transformação de variável e sua inversa. Dada \(U=\tfrac12(X+2)\), temos \(X=2U-2\).

Do suporte de \(X\) (isto é, \(0suporte de \(U\): \(0<2u-2<2\Rightarrow 1

Para obter a densidade usa-se a fórmula de mudança de variável: \(g(u)=f_X(x(u))\left|\dfrac{dx}{du}\right|\). Aqui \(\dfrac{dx}{du}=2\) (o Jacobiano).

Substituindo \(f_X(x)=\tfrac{3}{8}x^2\) com \(x=2u-2\) e multiplicando por 2 obtemos

\(g(u)=\dfrac{3}{8}(2u-2)^2\cdot 2=\dfrac{3}{4}(2u-2)^2\), para \(1

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